Hola @pabloweb88,
Los compañeros @paula94 y @nuria_tienda tienen razón. Tu problema es un clásico: estás mezclando la lógica de presentación con la lógica de procesamiento en un lugar que no le corresponde. El hookDisplayBackOfficeHome se ejecuta antes de que PrestaShop decida cómo manejar una petición POST en un controlador del Back Office.
Para que tu nota se guarde de forma persistente, necesitas un controlador administrativo. Aquí te muestro un fragmento de cómo sería un AdminController básico en tu módulo para gestionar esa nota:
// modules/mynotes/controllers/admin/AdminMyNotesController.php
class AdminMyNotesController extends ModuleAdminController
{
public function __construct()
{
parent::__construct();
$this->bootstrap = true;
$this->context = Context::getContext();
// Opcional: define tabla y clase si vas a tener múltiples notas en DB
// $this->table = 'mynotes_note';
Deberías crear este archivo en modules/mynotes/controllers/admin/AdminMyNotesController.php y registrar este controlador en tu módulo (por ejemplo, en el método install()). Luego, en tu notes_widget.tpl, la acción del formulario debería apuntar a este nuevo controlador:
'form_action' => $this->context->link->getAdminLink('AdminMyNotes'),
Esto asegura que la solicitud POST de tu formulario sea manejada por el postProcess de AdminMyNotesController. Para una solución más completa y mantenible que no requiera tocar código ni preocuparse por futuras actualizaciones, te recomiendo considerar un módulo dedicado. Puedes gestionar notas adhesivas del panel sin tocar el código core de manera mucho más sencilla con una herramienta diseñada para ello.